设贷款总额为A，银行月利率为β，总期数为m（个月），月还款额设为X，则各个月所欠银行贷款为：
第一个月A
第二个月A（1＋β）-X
第三个月（A（1＋β）-X）（1＋β）-X＝A(1＋β)2-X[1+(1+β)]
第四个月（（A（1+β）-X）（1＋β）-X）（1＋β）-X ＝A(1+β)3-X[1+(1+β)+(1+β)2]
…
由此可得第n个月后所欠银行贷款为
A(1+β)n –X[1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1]=A(1+β)n –X[(1+β)n-1]/β
由于还款总期数为m，也即第m月刚好还完银行所有贷款，因此有
A(1+β)m –X[(1+β)m-1]/β=0
由此求得
X =Aβ(1+β)m /[(1+β)m-1]
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◆ 关于A(1+β)n –X[1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1]= A(1+β)n –X[(1+β)n-1]/β的推导用了等比数列的求和公式
◆ 1、(1+β)、(1+β)2、…、(1+β)n-1为等比数列
◆ 关于等比数列的一些性质
（1）等比数列：An+1/An=q, n为自然数。
（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）；
推广式： An=Am·q^(n－m)；
（3）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
（4）性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
(5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
◆所以1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1 =[(1+β)n-1]/β
等额本金还款不同等额还款
问：等额本金还款是什么意思？ 与等额还款相比是否等额本金还款更省钱？
答：等额本金还款方式计算公式如下：每月还款额=P/（n×12）+剩余借款总额×I，其中P为贷款本金，I为月利率，n为贷款年限。不能将两种还款方式做简单的比较。
等额还款计算公式
每月还本付息金额 ＝ （本金×月利率×（1＋月利率）^贷款月数） ÷ [（1＋月利率）^还款月数 － 1]
其中：每月利息 ＝剩余本金 × 贷款月利率
每月本金 ＝每月月供额 － 每月利息
计算原则：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款
中的比例中随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高，但月供
总额保持不变。
按月递减还款计算公式
每月还本付息金额 ＝ （本金 / 还款月数）＋（本金 － 累计已还本金）× 月利率
每月本金 ＝总本金 / 还款月数
每月利息 ＝ (本金 －累计已还本金) ×月利率
计算原则：每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。